30-60-90 Üçbucağına Asan Bələdçi

xüsusiyyət_triqanları

Kəskin, qabarıq, bərabərbucaqlı, bərabər tərəfli ... Üçbucaqlara gəldikdə, çox fərqli növlər var, ancaq 'xüsusi' olan bir neçə seçim var. Bu xüsusi üçbucaqların ardıcıl və proqnozlaşdırıla bilən tərəfləri və açıları var və həndəsə və ya trigonometriya problemlərini həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Və 30-60-90 üçbucağı-'otuz altmış doxsan' deyilən-həqiqətən çox xüsusi bir üçbucaq növüdür.

Bu təlimatda, 30-60-90 üçbucağının nə olduğunu, niyə işlədiyini və bu barədə biliyinizi nə vaxt (və necə) istifadə edəcəyinizi sizə izah edəcəyik. Buna görə də gələk!



30-60-90 Üçbucağı nədir?

30-60-90 üçbucağı, hər zaman 30 dərəcə, 60 dərəcə və 90 dərəcə bucaqlara malik olan xüsusi bir düzbucaqlı üçbucaqdır (düzbucaqlı üçbucaq 90 dərəcə bir açı olan hər hansı bir üçbucaqdır). Xüsusi bir üçbucaq olduğu üçün həmişə bir -biri ilə ardıcıl əlaqədə olan yan uzunluq dəyərlərinə malikdir.

kollec üçün tövsiyə məktubu nümunəsi

Əsas 30-60-90 üçbucaq nisbəti:

30 ° bucağın əks tərəfi: $ x $

60 ° bucağın əks tərəfi: $ x * √3 $

90 ° bucağın əks tərəfi: $ 2x $

body_306090 ənənəvi

Məsələn, 30-60-90 dərəcə üçbucağın yan uzunluqları ola bilər:

2, 2, 3, 4

bədən nümunəsi 1

7, 7, 3, 14

bədən nümunəsi 2

√3, 3, 2√3

bədən_müsəlli_sürəti.png

(Niyə daha uzun ayaq 3? Bu üçbucaqda ən qısa ayaq ($ x $) $ √3 $ -dır, buna görə də uzun ayaq üçün $ x√3 = √3 * √3 = √9 = 3 $. Və hipotenuz ən qısa ayağının 2 qatı və ya $ 2√3 $)

Və sair.

30 ° bucağın əks tərəfi həmişə ən kiçikdir çünki 30 dərəcə ən kiçik bucaqdır. 60 ° bucağın əks tərəfi orta uzunluq olacaq çünki 60 dərəcə bu üçbucağın orta ölçülü dərəcə bucağıdır. Və nəhayət, 90 ° bucağın əks tərəfi həmişə ən böyük tərəf olacaq (hipotenuz) çünki 90 dərəcə ən böyük açıdır.

Başqa düzbucaqlı üçbucaqlara bənzəsə də, 30-60-90 üçbucağının bu qədər özünəməxsus olmasının səbəbi, digər ölçüləri tapmaq üçün yalnız üç məlumata ehtiyacınız olmasıdır. İki bucaq ölçüsünün və bir tərəf uzunluğunun dəyərini bildiyiniz müddətcə (hansı tərəfin fərqi yoxdur), üçbucağınız haqqında bilmək lazım olan hər şeyi bilirsiniz.

Məsələn, aşağıdakı üçbucaqların qalan bütün məlumat boşluqlarını doldurmaq üçün 30-60-90 üçbucağı formulundan istifadə edə bilərik.

Misal 1

bədən_demo 2

Görə bilərik ki, bu, hipotenuzun ayaqlardan birinin uzunluğundan iki dəfə çox olduğu düzbucaqlı üçbucaqdır. Bu o deməkdir ki, bu 30-60-90 üçbucağı olmalıdır və verilən kiçik tərəf 30 ° -in əksinədir.

Buna görə uzun ayaq 60 ° bucağın əksinə olmalı və 6 * √3 $ və ya 6√3 $ ölçməlidir.

Nümunə 2

bədən_demo 4

Bunun 30-60-90 üçbucağı olması lazım olduğunu görə bilərik, çünki bunun bir ölçülü 30 ° olan bir düzbucaqlı üçbucaq olduğunu görə bilərik. İşarə edilməmiş bucaq 60 ° olmalıdır.

18, 60 ° bucağın əksinə bir ölçü olduğu üçün, $ x√3 $ bərabər olmalıdır. Ən qısa ayaq 18 $/√3 $ ölçməlidir.

(Qeyd edək ki, ayaq uzunluğu əslində $ 18/{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3 $ olacaq, çünki məxrəc radikal/kvadrat kök ola bilməz).

Və hipotenuz $ 2 (18/√3) $ olacaq

(Diqqət edin, yenə də məxrəcdə bir radikal ola bilməz, buna görə son cavab həqiqətən ayaq uzunluğunun 2 qatı olacaq $ 6√3 $ => $ 12√3 $).

Misal 3

bədən_demo 3

Yenə bizə iki bucaq ölçüsü verilir (90 ° və 60 °), buna görə üçüncü ölçü 30 ° olacaq. Bu 30-60-90 üçbucağı və hipotenuz 30 olduğu üçün ən qısa ayağı 15, daha uzun ayağı 15√3 bərabər olacaq.

bədən_səkkiz top

Sehrli səkkiz topa müraciət etməyə ehtiyac yoxdur - bu qaydalar həmişə işləyir.

Niyə İşləyir: 30-60-90 Üçbucaq Teoremi Sübutu

Bəs bu xüsusi üçbucaq niyə bu şəkildə işləyir? Bu qaydaların qanuni olduğunu hardan bilirik? Gəlin 30-60-90 üçbucaq teoreminin tam olaraq necə işlədiyini araşdıraq və bu yan uzunluqların niyə həmişə uyğun olacağını sübut edək.

Birincisi, düzbucaqlı üçbucaqları bir saniyəlik unudub birinə baxaq bərabər tərəfli üçbucaq.

bədənə davamlı 1

Bərabər tərəfli üçbucaq, bütün bərabər tərəfləri və bərabər açıları olan bir üçbucaqdır. Üçbucağın iç açıları həmişə 180 ° və 180 $/3 = 60 $ qədər artdığı üçün bərabər tərəfli üçbucağın həmişə üç 60 ° bucağı olacaq.

bədənə davamlı 2

İndi ən yüksək bucaqdan üçbucağın əsasına bir hündürlük endirək.

bədənə davamlı 3

İndi var iki düz bucaq və iki uyğun (bərabər) üçbucaq yaratdı.

Bərabər üçbucaq olduqlarını haradan bilirik? Çünki birdən yüksəkliyə düşdük bərabər tərəfli üçbucaq, əsasını tam yarıya böldük. Yeni üçbucaqlar da bir tərəf uzunluğunu (hündürlüyü) bölüşdürür və hər biri eyni hipotenuz uzunluğuna malikdir. Üç tərəf uzunluğunu ortaq olduqları üçün (SSS), bu deməkdir üçbucaqlar uyğun gəlir.

bədənə davamlı 4

Qeyd: iki üçbucaq yalnız yan tərəf uzunluqları və ya SSS prinsiplərinə uyğun deyil, həm də yan bucaq tərəfi ölçülərinə (SAS), bucaq bucağı tərəfinə (AAS) və bucaq yan bucaq (ASA). Əsasən? Qəti şəkildə uyğun gəlirlər.

İndi iki yeni üçbucağın uyğunluqlarını sübut etdikdən sonra, yuxarı açıların hər birinin 30 dərəcəyə bərabər olduğunu görə bilərik (çünki hər üçbucağın artıq 90 ° və 60 ° bucaqları var və 180 ° -ə qədər əlavə etməlidir). Bu deməkdir 30-60-90 iki üçbucaq düzəltdik.

Bərabər üçbucağın əsasını yarıya endirdiyimizi bildiyimiz üçün, 30-60-90 üçbucaqlarımızın hər birinin 30 ° bucağının (ən qısa tərəfi) əks tərəfinin hipotenuzun tam yarısı uzunluğunda olduğunu görə bilərik. .

Beləliklə, orijinal yan uzunluğumuzu $ x $ və ikiyə bölünmüş uzunluğumuzu $ x/2 $ adlandıraq.

İndi bizi tərk edəcək şey, iki üçbucağın paylaşdığı orta uzunluq uzunluğunu tapmaqdır. Bunun üçün sadəcə Pifaqor teoremindən istifadə edə bilərik.

body_proof final

akt skorları nə vaxt çıxır

$ a^2 + b^2 = c^2 $

$ (x/2)^2 + b^2 = x^2 $

$ b^2 = x^2 - ({x^2}/4) $

$ b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4 $

$ b^2 = {3x^2}/4 $

$ b = {√3x} / 2 $

Beləliklə, qalırıq: $ x/2, {x√3}/2, x $

İndi həyatı asanlaşdırmaq və bütün kəsirlərdən qaçmaq üçün hər bir ölçünü 2 ilə vuraq. Bu şəkildə, bizdə qalır:

$ x $, $ x√3 $, $ 2x $

Buna görə də 30-60-90 üçbucağının olacağını görə bilərik həmişə $ x $, $ x√3 $ və $ 2x $ (və ya $ x/2 $, $ {√3x}/2 $ və $ x $) ardıcıl yan uzunluqlara malikdir.

bədən tənlikləri

Şanslıyıq ki, bütün bunlar olmadan 30-60-90 üçbucaq qaydalarının doğru olduğunu sübut edə bilərik.

30-60-90 Üçbucaq Qaydaları nə vaxt istifadə edilməlidir

30-60-90 üçbucaq qaydalarını bilmək, çoxlu müxtəlif riyazi problemlərə, yəni geniş həndəsə və trigonometriya problemlərinə vaxtınızı və enerjinizi xilas edə biləcək.

Həndəsə

30-60-90 üçbucaqlarını düzgün başa düşmək, bu nisbət qaydalarını bilmədən həll etmək mümkün olmayan həndəsə suallarını həll etməyə imkan verəcək və ya ən azından 'uzun yolu' həll etmək üçün xeyli vaxt və səy tələb edəcək.

Xüsusi üçbucaq nisbətləri ilə itkin üçbucağın hündürlüyünü və ya ayaq uzunluğunu (Pifaqor teoremindən istifadə etmədən) anlamaq, itkin hündürlük və ya baza uzunluğu məlumatlarını istifadə edərək üçbucağın sahəsini tapmaq və perimetrləri tez hesablamaq olar.

Bir suala cavab vermək üçün istədiyiniz zaman 30-60-90 qaydalarınız kimi qısa yolları xatırlamaq faydalı olacaq.

Triqonometriya

30-60-90 üçbucaq nisbətini əzbərləmək və anlamaq həm bir kalkulyatora ehtiyac olmadan, həm də cavablarınızı ondalık şəklində təxmini etmədən bir çox trigonometriya problemini həll etməyə imkan verəcəkdir.

30-60-90 üçbucağında hər bir açı üçün kifayət qədər sadə sinuslar, kosinüslər və teğetlər vardır (və bu ölçülər həmişə uyğun olacaq).

bədən_triq

30 ° sinus həmişə 1/2 $ olacaq.

60 ° kosinosu həmişə 1/2 $ olacaq.

Digər sinuslar, kosinüslər və teğetlər olduqca sadə olsa da, yadda saxlamağı ən asan olan və testlərdə görünmə ehtimalı olan ikisidir. Bu qaydaları bilmək bu trigonometriya ölçülərini ən qısa zamanda tapmağa imkan verəcəkdir.

30-60-90 qaydalarını xatırlamaq üçün məsləhətlər

Bu 30-60-90 nisbət qaydalarının faydalı olduğunu bilirsiniz, ancaq məlumatı başınızda necə saxlayırsınız? 30-60-90 üçbucaq qaydalarını xatırlamaq, 1: √3: 2 nisbətini xatırlamaq və ən qısa yan uzunluğun həmişə ən qısa bucağın (30 °) və ən uzun tərəf uzunluğunun həmişə əksinə olduğunu bilmək məsələsidir. ən böyük açı (90 °).

Bəziləri düşünərək nisbəti əzbərləyirlər. $ bi x $, $ bo 2 bi x $, $ bi x bo √ bo3 $, '1, 2, 3' ardıcıllığını xatırlamaq adətən asandır. Bu texnikadan istifadə etmək üçün bir tədbir, ən uzun tərəfin əslində $ 2x $ olduğunu xatırlamaqdır. yox $ x $ dəfə $ √3 $.

Nisbətlərinizi xatırlamağın başqa bir yolu müvafiq qaydada 1: root 3: 2 nisbətində mnemonik bir söz oyunu istifadə edin. Məsələn, 'Jackie Mitchell, Lou Gehrig'i vurdu və' Ruthy'yi də qazandı '': bir, kök üç, iki. (Və açmaq üçün əsl beysbol tarixi faktdır!)

Əgər bunlar sizə xitab etmirsə, öz mnemonik cihazlarınızla oynayın - bir mahnının nisbətini oxuyun, öz 'bir, kök üç, iki' ifadənizi tapın və ya bir nisbət şeiri yaradın. Hətta 30-60-90 üçbucağının yarım bərabər tərəfli olduğunu xatırlaya bilərsiniz və onları əzbərləməyi sevmirsinizsə oradan ölçüləri anlaya bilərsiniz.

Ancaq bu 30-60-90 qaydaları xatırlamaq, gələcək həndəsə və trigonometriya suallarınız üçün bu nisbətləri başınızda saxlamaq sizin üçün məntiqlidir.

bədən_yadda saxla

Yaddaş sizin dostunuzdur, ancaq bunu həyata keçirə bilərsiniz.

GPA Dönüşüm Aləti əldə edin

hüquq fakültəsi üçün ən yaxşı lisenziya dərəcələri

Misal 30-60-90 Suallar

İndi 30-60-90 üçbucaqlarının necə və nədən ibarət olduğunu araşdırdıqdan sonra bəzi təcrübə problemlərini həll edək.

Həndəsə

Bir inşaat işçisi, 40 metrlik bir nərdivanı yerdən 30 dərəcə bir açı ilə bir binanın yan tərəfinə söykənir. Torpaq düzdür və binanın yan tərəfi yerə dikdir. Nərdivan binaya nə qədər qalxır, ən yaxın ayağa?

body_geo ex.5

30-60-90 xüsusi üçbucaq qaydalarımızı bilmədən bu problemin həllini tapmaq üçün trigonometriya və bir kalkulyatordan istifadə etməli olacağıq, çünki üçbucağın yalnız bir tərəfli ölçüsü var. Ancaq bunun bir olduğunu bildiyimiz üçün xüsusi üçbucaq, bir neçə saniyədə cavab tapa bilərik.

Bina ilə zəmin bir -birinə dikdirsə, bu, binanın və zəminin düz (90 °) bir açı təşkil etməsi deməkdir. Nərdivanın yerə 30 ° bucaq altında girməsi də verilmişdir. Bu səbəbdən qalan bucağın 60 ° olması lazım olduğunu görə bilərik ki, bu da 30-60-90 üçbucağıdır.

body_geo ex 1

İndi bilirik ki, bu 30-60-90-ın ​​hipotenuzunun (ən uzun tərəfi) 40 futdır, yəni ən qısa tərəfi bu uzunluğun yarısı olacaq. (Unutmayın ki, ən uzun tərəf həmişə iki dəfədir - $ 2x $ - ən qısa tərəfi qədər.) Çünki ən qısa tərəfi 30 ° bucağın əksidir və bu bucaq pilləkənin yerdən dərəcəsi ölçüsüdür. nərdivanın üstü yerdən 20 fut aralıda binaya dəyir.

bədən_geo 2

Son cavabımız 20 metrdir.

Triqonometriya

Əgər düzbucaqlı üçbucaqda günah Θ = $ 1/2 $ və ən qısa ayaq uzunluğu 8 olarsa, hipotenuz DEYİL olan itkin tərəfin uzunluğu nədir?

body_trig ex 1

30-60-90 qaydalarınızı bildiyiniz üçün bu problemi ya pifaqor teoreminə, ya da kalkulyatora ehtiyac olmadan həll edə bilərsiniz.

Bunun bir düzbucaqlı üçbucaq olduğunu söylədik və xüsusi düzbucaqlı üçbucaq qaydalarımızdan bilirik ki, 30 ° = $ 1/2 $. Buna görə itkin bucaq 60 dərəcə olmalıdır, bu da onu 30-60-90 üçbucağı halına gətirir.

Və bu 30-60-90 üçbucağı olduğu üçün bizə ən qısa tərəfinin 8 olduğunu, hipotenuzun 16, itkin tərəfinin isə 8 * √3 $ və ya 8√3 $ olması lazım olduğunu söylədilər.

body_trig ex 3

Son cavabımız 8√3.

Alıcılar

Xatırlayaraq 30-60-90 üçbucaqları üçün qaydalar, müxtəlif riyazi problemlərdən keçməyinizə kömək edəcək . Ancaq unutmayın ki, bu qaydaları bilmək kəmərinizdə saxlamaq üçün lazımlı bir vasitə olsa da, əksər problemləri onsuz da həll edə bilərsiniz.

$ X $, $ x√3 $, 2x $ və 30-60-90 qaydalarını sizin üçün mənalı olan hər hansı bir şəkildə izləyin və bacardığınız halda onları düz tutmağa çalışın, amma ağlınız varsa vahimə etməyin. böhran zamanı boşalır. Hər halda, səndə var.

Və daha çox təcrübəyə ehtiyacınız varsa, davam edin və bunu yoxlayın 30-60-90 üçbucaq viktorinası . Testləriniz mübarək!

Test hazırlığı ilə əlaqədar köməyə ehtiyacı olan dostlarınız varmı? Bu yazını paylaşın!

Maraqlı MəQaləLəR

Böyük Gatsby Ayarı haqqında Bilməli olduğunuz hər şey

Qərb və Şərq Yumurtası, Kül Vadisi və ya Gatsbinin malikanəsi haqqında suallarınız varmı? Great Gatsby ayarı üçün tam bələdçimiz romanın yerlərini təhlil edir.

Kök nədir? Bu nə üçündür?

STEM təhsildə nə deməkdir? Niyə vacibdir? Mütəxəssis rəhbərinə aid STEM kursları və karyeraları haqqında hər şeyi öyrənin.

Maine Universiteti, Presque Isle Qəbulu Tələbləri

Niyə SAT almalısınız? 5 vacib səbəb

Niyə SAT almalı olduğunuzdan əmin deyilsiniz? Bir kollecə qəbul imtahanı verməyimizin səbəblərini və SAT -ın xüsusi faydalarının nə olduğunu izah edirik.

Saint Xavier Universiteti Qəbul Tələbləri

Ən Yaxşı Rebekka Tibb bacısı təhlili - Crucible

Rebecca Nurse ilə maraqlanırsınız? Yaşlı qadının The Crucible filmindəki rolunu, ən vacib xüsusiyyətlərini və vacib sitatlarını izah edirik.

Hofstra Universiteti SAT balları və GPA

BA vs BS dərəcəsi: Hansı sizin üçün daha yaxşıdır?

BA ilə BS dərəcələrini müqayisə edərkən əsas oxşarlıqlar və fərqlər nələrdir? Bir dərəcə digərindən daha yaxşıdır? Bilmək üçün mütəxəssis bələdçimizi oxuyun.

ACT Test Tarixləri 2016-2017

ACT 2016-2017-ci tədris ilində nə vaxt təklif olunacağını düşünürsünüz? Hazırlığınızı planlaşdırmaq üçün bu test tarixlərinin tam cədvəlinə baxın.

Winston-Salem Dövlət Universiteti SAT və GPA

Puerto Riko Amerika Universiteti Qəbul Tələbləri

Hart-Ransom Akademik Nizamnamə Məktəbi haqqında nələri bilməlisiniz

Dövlət sıralamalarını, SAT / ACT skorlarını, AP siniflərini, müəllim veb saytlarını, idman komandalarını və Modesto, CA-dakı Hart-Ransom Akademik Xartiya Məktəbi haqqında daha çox məlumat əldə edin.

AP Fizikası 1, 2 və C arasındakı fərq nədir? Hansını almalısan?

Hansı AP Fizikası kursunu seçəcəyinizi necə seçirsiniz? AP Physics 1 və AP Physics C arasında necə qərar verirsiniz? Mütəxəssis təlimatımızla öyrənin.

Philadelphia Universitetinə Qəbul Tələbləri

Pensilvaniya Millersville Universiteti Qəbul Tələbləri

2016-17 Akademik Bələdçi | San Ramon Valley Liseyi

Stateville, SAT/ACT skorlarını, AP dərslərini, müəllim saytlarını, idman komandalarını və daha çoxunu Danville, CA -da San Ramon Valley Liseyi haqqında öyrənin.

Capella Universitetinə qəbul tələbləri

3 delikli yumru və onun ixtiraçısının əsl tarixi

Çuxur yumruğunu kim icad etdiyinə qarışıq? 3 delikli yumruq tarixini və ixtiraçısı ilə bağlı mübahisələri yenidən nəzərdən keçiririk.

Colgate Universiteti SAT və GPA

Grinnell Kolleci ACT Skorları və GPA

Ursinus Kolleci Qəbul Tələbləri

Niyə ACT almalısınız? 5 vacib səbəb

Niyə ACT almalısınız? ACT -ə ehtiyacınız olub -olmadığını müəyyən etməyə kömək edəcək ən vacib səbəbləri öyrənin.

PSAT vs SAT: Bilməli olduğunuz 6 əsas fərq

SAT və PSAT arasındakı fərqlərin nə olduğunu bilmirsiniz? Testlərin ortaq cəhətlərini və nəyi olmayanları ayırırıq.

Tarleton Dövlət Universitetinə Qəbul Tələbləri

1250 SAT puanı: Bu yaxşıdır?