Bölmə dairəsindən istifadə etmək üçün 3 mütəxəssis məsləhətləri

xüsusiyyət_wikimedia_unit_circle

Triqma və ya hesablama öyrənirsinizsə və ya hazırlaşırsınızsa, vahid dairəsi ilə tanış olmalısınız. Vahid dairəsi bir açının sinusu, kosinusu və teğetini həll etmək üçün istifadə olunan əsas vasitədir. Amma necə işləyir? Və istifadə etmək üçün hansı məlumatları bilməlisiniz?

Bu yazıda vahid dairənin nə olduğunu və niyə bilməli olduğunuzu izah edirik. Vahid dairəni necə istifadə edəcəyinizi xatırlamağınıza kömək etmək üçün sizə üç ipucu da veririk.



Xüsusiyyət Şəkili: Gustavb /Vikimedia

Bölmə dairəsi: Əsas Giriş

Vahid dairə radiusu 1 olan bir dairədir. Bu o deməkdir ki, dairənin mərkəzi nöqtəsindən dairənin kənarındakı hər hansı bir nöqtəyə çəkilən hər hansı bir düz xətt üçün bu xəttin uzunluğu həmişə 1 -ə bərabər olacaqdır. diametri radius uzunluğunun iki qatına bərabərdir.)

Tipik olaraq, vahid dairənin mərkəzi nöqtəsi, x oxu və y oxunun kəsişdiyi yerdir və ya koordinatlardadır (0, 0):

body_wikimedia_unit_circle

Vahid dairəsi və ya məlum olduğu kimi tətik dairəsi bilmək faydalıdır 0 ° və 360 ° (və ya 0 və 2π radian) arasındakı hər hansı bir açının kosinüsünü, sinüsünü və teğetini asanlıqla hesablamağımıza imkan verir.

mitoz və meyoz necə fərqlənir?

Yuxarıdakı diaqramda gördüyünüz kimi, hər hansı bir açıda bir radius çəkərək (şəkildəki ∝ işarəsi ilə) düzbucaqlı üçbucaq yaradacaqsınız. Bu üçbucaqda kosinus üfüqi xətt, sinus isə şaquli xəttdir. Başqa sözlə, kosinus =x koordinatı və sinus = y koordinatı. (Üçbucağın ən uzun xətti və ya hipotenuzu radiusdur və buna görə 1 -ə bərabərdir.)

Bütün bunlar niyə vacibdir? Unutmayın ki, üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını istifadə edərək həll edə bilərsiniz Pifaqor teoremi və ya $ a^2+b^2 = c^2 $ (hansı b üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarıdır və c hipotenuzun uzunluğudur).

Bilirik ki, bucağın kosinusu üfüqi xəttin uzunluğuna, sinus şaquli xəttin uzunluğuna bərabərdir və hipotenuz 1 -ə bərabərdir. Buna görə də deyə bilərik ki, vahid dairəsindəki hər hansı bir düzbucaqlı üçbucağın formulu belədir:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 ^ 2 $$

$ 1^2 = 1 $ olduğundan, bu tənliyi belə sadələşdirə bilərik:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 $$

Bunun fərqində olun bu dəyərlər mənfi ola bilər yaranan açıdan və x- və y koordinatlarının hansı kvadranta düşməsindən asılı olaraq (bunu daha sonra daha ətraflı izah edəcəyəm).

Vahid dairəsindəki dərəcələr və radianlardakı bütün əsas açılara bir baxış:

body_unit_circle_degrees

Bölmə dairəsi - dərəcə

bədən_birimi_dairəsi_radianlar

Bölmə dairəsi - Radians

Bəs üçbucaq yoxdursa nə etməli? Baxaq x oxu boyunca üfüqi düz bir xətt meydana gətirərək 0 ° bucaqda olanda nə baş verir:

body_unit_circle_cos_1_sin_0

Bu sətirdə x koordinatı 1-ə, y koordinatı isə 0-a bərabərdir. Bunu bilirik kosinus x koordinatına, sinus y koordinatına bərabərdir, belə yaza bilərik:

  • $ cos0 ° = 1 $
  • $ sin0 ° = 0 $

Birdən bucaq 90 ° -dir və y oxu boyunca mükəmməl bir şaquli xətt təşkil edir?

body_unit_circle_cos_0_sin_1

Burada x koordinatının 0 və y koordinatının 1-ə bərabər olduğunu görə bilərik. Bu bizə sinus və kosinus üçün aşağıdakı dəyərləri verir:

  • $ cos90 ° = 0 $
  • $ sin90 ° = 1 $

düşməninizi_bədəninizi tanıyın Riyaziyyat həvəskarı deyilsinizsə, bu şüar mütləq tətbiq olunur.



Niyə vahid dairəsini bilməlisiniz

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, vahid dairəsi faydalıdır hər hansı bir dərəcə və ya radianın sinüs, kosinüs və ya teğetini asanlıqla həll etməyə imkan verir. Riyazi ev tapşırığı üçün müəyyən tətik dəyərləri həll etməlisinizsə və ya hesablamağa hazırlaşırsınızsa, vahid dairə cədvəlini bilmək xüsusilə faydalıdır.

Bəs vahid dairəni bilmək sizə necə kömək edə bilər? Tutaq ki, sizə riyazi testdə aşağıdakı problemi veriblər - verdilər yox həll etmək üçün bir kalkulyatordan istifadə etməyə icazə verilir:

$$ sin30 ° $$

Haradan başlayırsan? Vahid dairə cədvəlinə yenidən nəzər salaq - bu dəfə bütün əsas açılarla (həm dərəcə, həm də radianda) və müvafiq koordinatları ilə:

body_wikimedia_unit_circle_complete_chart Jim.belk /Vikimedia

Əsəbləşməyin! Unutmayın, həll etdiyiniz hər şey $ sin30 ° $ -dır. Bu qrafikə baxaraq bunu görə bilərik y koordinatı 30 ° -də $ 1/2 $ -a bərabərdir. Və y koordinatı sinusa bərabər olduğu üçün cavabımız belədir:

$$ sin30 ° = 1/2 $$

Bəs dərəcə deyil, radian istifadə edən bir problemlə qarşılaşsanız nə olar? Onun həlli prosesi hələ də eynidir. Məsələn, belə bir problemlə qarşılaşdığınızı söyləyin:

$$ cos {{3π} / 4} $$

Yenə yuxarıdakı cədvəldən istifadə edərək, {3π}/4 $ (135 ° -ə bərabər olan) x-koordinatının (və ya kosinüsünün) $-{√2}/2 $ olduğunu görə bilərik. Budur, bu problemə cavabımız belə olacaq:

$$ cos ({3π} / 4) = - {√2} / 2 $$

İstifadə etmək üçün yuxarıdakı vahid dairə cədvəliniz varsa, bunların hamısı olduqca asandır. Ancaq əksər hallarda (hamısı olmasa da) belə olmayacaq və bu cür riyazi suallara yalnız beyninizi istifadə edərək cavab verməyiniz gözlənilir.

Beləliklə, vahid dairəni necə xatırlaya bilərsiniz? Ən yaxşı məsləhətlərimiz üçün oxuyun!

Bölmə dairəsini necə xatırlamaq olar: 3 əsas məsləhət

Bu bölmədə, ehtiyac duyduğunuz hər hansı bir riyazi problem üçün asanlıqla istifadə edə biləcəyiniz üçün tətik dairəsini xatırlamaq üçün ən yaxşı ipuçlarımızı veririk.

body_remember_note Post-it ilə vahid dairəsini tətbiq etməyi məsləhət görmürəm, amma hey, bu bir başlanğıcdır.

#1: Ümumi Bucaqları və Koordinatları əzbərləyin

Bölmə dairəsindən səmərəli istifadə etmək üçün bunu etməlisiniz ən ümumi açıları (həm dərəcə, həm də radianda) və onların x və y koordinatlarını yadda saxla.

Yuxarıdakı diaqram, x və y oxları boyunca uyğun koordinat nöqtələrinə əlavə olaraq, həm dərəcə, həm də radiandakı bütün əsas açıları ehtiva etdiyinə görə baxmaq üçün faydalı bir vahid dairə diaqramıdır.

Budur eyni məlumatları cədvəl şəklində göstərən bir cədvəl:

Bucaq (dərəcə) Bucaq (Radians) Dairədə Nöqtənin Koordinatları
0 ° / 360 ° 0 / 2π (1, 0)
30 ° $ π / 6 $ $ ({√3} / 2, 1/2) $
45 ° $ π / 4 $ $ ({√2} / 2, {√2} / 2) $
60 ° $ π / 3 $ $ (1/2, {√3} / 2) $
90 ° $ π / 2 $ (0, 1)
120 ° $ {2π} / 3 $ $ (- 1/2, {√3} / 2) $
135 ° {3π} $ / 4 $ $ (- {√2} / 2, {√2} / 2) $
150 ° {5π} $ / 6 $ $ (- {√3} / 2, 1/2) $
180 ° Pi (-1, 0)
210 ° {7} / 6 dollar $ ( - {√3} / 2, -1/2) $
225 ° {5π} $ / 4 $ $ ( - {√2} / 2, - {√2} / 2) $
240 ° {4π} $ / 3 $ $ ( - 1/2, - {√3} / 2) $
270 ° {3π} $ / 2 $ (0, -1)
300 ° {5π} $ / 3 $ $ (1/2, - {√3} / 2) $
315 ° {7π} $ / 4 $ $ ({√2} / 2, - {√2} / 2) $
330 ° {11π} $ / 6 $ $ ({√3} / 2, -1/2) $

İndi, bütün bu koordinatları və açıları əzbərləməyə çalışmaqdan daha çox xoşunuz gəlsə də, bu belədir Çox yadda qalan şeylər.

Xoşbəxtlikdən, vahid dairənin ən vacib hissələrini xatırlamağa kömək etmək üçün istifadə edə biləcəyiniz bir hiylə var.

Yuxarıdakı koordinatlara baxın və aydın bir nümunə görəcəksiniz: bütün nöqtələr (0 °, 90 °, 270 ° və 360 ° olanlar istisna olmaqla) yalnız üç dəyər arasında dəyişir (müsbət və ya mənfi):

  • $ 1 / $ 2
  • $ {√2} / 2 $
  • $ {√3} / 2 $

Hər bir dəyər uyğun gəlir həm kosinüs, həm də sinus üçün qısa, orta və ya uzun xətt:

body_unit_circle_cos_lines

aice nə deməkdir

body_unit_circle_sin_lines

Bu uzunluqların mənası budur:

  • Qısa üfüqi və ya şaquli xətt = 1 dollar / 2 dollar
  • Orta üfüqi və ya şaquli xətt = $ {√2} / 2 $
  • Uzun üfüqi və ya şaquli xətt = $ {√3} / 2 $

Məsələn, $ cos {π/3} $ həll etməyə çalışırsınızsa, bu açının (60 ° -ə bərabər olan) olduğunu dərhal bilməlisiniz. vahid dairəsində qısa bir üfüqi xətt. Buna görə də onun müvafiq x koordinatı $ 1/2 $ olmalıdır (müsbət dəyər, çünki $ π/3 $ koordinat sisteminin birinci kvadrantında bir nöqtə yaradır).

Nəhayət, yuxarıdakı cədvəldəki bütün bucaqları yadda saxlamaq faydalı olsa da, unutmayın yadda saxlamalı olduğunuz ən vacib açılar bunlardır:

  • 30 ° / $ π / 6 $
  • 45 ° / $ π / 4 $
  • 60 ° / $ π / 3 $

body_positive_negative_cables Mənfi və müsbət tərəflərinizə səhv bağlandıqda sizi öldürə biləcək kabellər kimi davranın.

#2: Mənfi və Müsbət olanları öyrənin

Müsbət və mənfi x və y koordinatlarını ayırd edə bilmək vacibdir ki, bir tetik problemi üçün doğru dəyəri tapasınız. Xatırlatmaq üçün, in vahid dairəsindəki bir koordinatın müsbət və ya mənfi olacağına bağlıdır Hansı kvadrant (I, II, III və ya IV) nöqtəyə düşür:

body_unit_circle_quadrants

İşdə müəyyən bir bucağın (dərəcə və ya radian) əsasında bir koordinatın müsbət və ya mənfi olacağını göstərən bir diaqram:

Quadrant X-Koordinat (Kosinika) Y-Koordinat (Sinus)
Mən + +
yl - +
III - -
IV + -

Məsələn, riyaziyyat testində sizə aşağıdakı problem verildiyini söyləyin:

$$ cos210 ° $$

Hələ həll etməyə çalışmazdan əvvəl cavabın olacağını başa düşməlisiniz mənfi rəqəm 210 ° bucağı III kvadranta düşdüyündən (burada x-koordinatlarıdır həmişə mənfi).

İndi 1 -ci tipdə öyrəndiyimiz hiylədən istifadə edərək 210 ° bir açının yarandığını anlaya bilərsiniz uzun bir üfüqi xətt. Buna görə cavabımız belədir:

$$ cos210 ° =-{√3}/2 $$

#3: Teğet üçün necə həll olunacağını bilin

Nəhayət, üçbucaq dairəsi, sinus və kosinus haqqında bütün bu məlumatların necə istifadə ediləcəyini bilmək vacibdir. bir açının teğetini həll edin.

Üçbucaqda θ bucağının teğetini (dərəcə və ya radianda) tapmaq üçün sadəcə sinusu kosinusa bölün:

$$ tanθ = { sinθ}/{ cosθ} $$

Məsələn, bu problemi həll etməyə çalışdığınızı söyləyin:

$$ tan300 ° $$

İlk addım sinus və kosinus baxımından bir tənlik qurmaqdır:

$$ tan300 ° = { sin300 °}/{ cos300 °} $$

İndi teğet üçün həll etmək üçün sinusu tapmalıyıq kosinüs 300 °. 300 ° bucağın dördüncü kvadranta düşdüyünü tez bir zamanda tanımalı olmalısınız, yəni kosinüs və ya x koordinatı müsbət, sinus və ya y koordinatı mənfi olacaq.

Bunu da dərhal bilməlisən 300 ° bucaq yaradır qısa bir üfüqi xətt və uzun bir şaquli xətt. Buna görə kosinus (üfüqi xətt) $ 1/2 $ və sinus (şaquli xətt) $-{√3}/2 $ (mənfi y dəyəri, çünki bu nöqtə IV kvadrantda olduğu üçün) bərabər olacaqdır. .

İndi teğet tapmaq üçün etdiyiniz işin hamısını qoşmaq və həll etməkdir:

$$ tan300 ° = {-{√3}/2}/{1/2} $$

$$ tan300 ° = -√3 $$

body_cat_practicing_golf Riyazi biliklərinizi sınamağın vaxtıdır!

Bölmə Dərnəyi Təcrübə Sualları

İndi vahid dairənin necə göründüyünü və ondan necə istifadə edəcəyinizi bildiyiniz üçün bir neçə təcrübə problemi ilə öyrəndiklərinizi sınayaq.

Suallar

  1. $ sin45 ° $
  2. $ cos240 ° $
  3. $ cos {5π} / 3 $
  4. $ tan {2π} / 3 $

Cavablar

  1. $ {√2} / 2 $
  2. $ -1 / $ 2
  3. $ 1 / $ 2
  4. $ -3 $

Şərhlərə cavab verin

#1: $ sin45 ° $

Bu problemlə dərhal müəyyən edə biləcəyiniz iki məlumat var:

  • Cavab müsbət olacaq, çünki 45 ° bucaq I kvadrantdadır və bucağın sinusu y koordinatına bərabərdir
  • 45 ° bucaq yaradır orta uzunluqdakı şaquli xətt (onlar üçün)

45 ° pozitiv, orta uzunluqlu xətti göstərdiyindən, düzgün cavabdır $ {√2} / 2 $.

Bunu necə başa düşəcəyinizdən əmin deyilsinizsə, xəttin uzunluğunun qısa, orta və ya uzun olacağını təyin etməyə kömək edəcək bir diaqram çəkin.

e ^ x təbii log

#2: $ cos240 ° $

Yuxarıdakı 1 nömrəli problem kimi, bu problemi tez bir zamanda qavramalı olduğunuz iki məlumat var:

  • Cavab mənfi olacaq, çünki 240 ° bucaq III kvadrantdadır və bucağın kosinusu x koordinatına bərabərdir
  • 240 ° bucaq yaradır qısa bir üfüqi xətt (kosinus üçün)

240 ° mənfi, qısa bir xətt göstərdiyindən, düzgün cavabdır $ -1 / 2 $.

# 3: $ cos {5π} / 3 $

Yuxarıdakı problemlərdən fərqli olaraq bu problem istifadə edir radianlar dərəcə əvəzinə. Bu problemi həll etmək daha çətin görünsə də, əslində digər iki problemlə eyni əsas addımlardan istifadə edir.

Əvvəlcə $ {5π}/3 $ bucağının IV kvadrantda olduğunu bilməlisiniz, buna görə x koordinatı və ya kosinus müsbət rəqəm. Bunu da deməyi bacarmalısan{5π} $ / 3 $yaradır qısa bir üfüqi xətt.

Bunu müəyyən etmək üçün sizə kifayət qədər məlumat verir the cavabıdır 1/2 $.

# 4: $ tan {2π} / 3 $

Bu problem sinus və ya kosinus yerinə toxunanla əlaqədardır, bu da bizim ucumuzda bir az daha çox riyaziyyat tələb olunacağı deməkdir. Əvvəlcə xatırlayın teğet tapmaq üçün əsas düstur:

$$ tan θ = { günah θ} / { cos θ} $$

İndi bizə verilən dərəcəni götürək - {2π}/3 $- və bu tənliyə daxil edin:

$$ tan {2π} / 3 = { günah {2π} / 3} / { cos {2π} / 3} $$

İndi vahid dairəsi haqqında əzbərlədiklərinizi istifadə edərək sinus və kosinusu ayrı -ayrılıqda həll edə bilməlisiniz. $ {2π}/3 $ bucağı II kvadrantda olduğu üçün x koordinatı (və ya kosinusu) mənfi, y koordinatı (və ya sinusu) müsbət olacaq.

Sonra, üfüqi xəttin yalnız bucağa əsaslanaraq təyin etməlisiniz qısa xətt, və şaquli xəttdir uzun bir xətt. Bu o deməkdir ki, kosinus $ -1/2 $ və sinus $ √3}/2 $ -a bərabərdir.

İndi bu dəyərləri anladıqdan sonra etməli olduğumuz şey onları ilk tənliyimizə qoşmaq və teğet üçün həll etməkdir:

$$ tan {2π} / 3 = {{√3} / 2} / {- 1/2} $$

$$ tan {2π} / 3 = -√3 $$

Maraqlı MəQaləLəR

Böyük Gatsby Ayarı haqqında Bilməli olduğunuz hər şey

Qərb və Şərq Yumurtası, Kül Vadisi və ya Gatsbinin malikanəsi haqqında suallarınız varmı? Great Gatsby ayarı üçün tam bələdçimiz romanın yerlərini təhlil edir.

Kök nədir? Bu nə üçündür?

STEM təhsildə nə deməkdir? Niyə vacibdir? Mütəxəssis rəhbərinə aid STEM kursları və karyeraları haqqında hər şeyi öyrənin.

Maine Universiteti, Presque Isle Qəbulu Tələbləri

Niyə SAT almalısınız? 5 vacib səbəb

Niyə SAT almalı olduğunuzdan əmin deyilsiniz? Bir kollecə qəbul imtahanı verməyimizin səbəblərini və SAT -ın xüsusi faydalarının nə olduğunu izah edirik.

Saint Xavier Universiteti Qəbul Tələbləri

Ən Yaxşı Rebekka Tibb bacısı təhlili - Crucible

Rebecca Nurse ilə maraqlanırsınız? Yaşlı qadının The Crucible filmindəki rolunu, ən vacib xüsusiyyətlərini və vacib sitatlarını izah edirik.

Hofstra Universiteti SAT balları və GPA

BA vs BS dərəcəsi: Hansı sizin üçün daha yaxşıdır?

BA ilə BS dərəcələrini müqayisə edərkən əsas oxşarlıqlar və fərqlər nələrdir? Bir dərəcə digərindən daha yaxşıdır? Bilmək üçün mütəxəssis bələdçimizi oxuyun.

ACT Test Tarixləri 2016-2017

ACT 2016-2017-ci tədris ilində nə vaxt təklif olunacağını düşünürsünüz? Hazırlığınızı planlaşdırmaq üçün bu test tarixlərinin tam cədvəlinə baxın.

Winston-Salem Dövlət Universiteti SAT və GPA

Puerto Riko Amerika Universiteti Qəbul Tələbləri

Hart-Ransom Akademik Nizamnamə Məktəbi haqqında nələri bilməlisiniz

Dövlət sıralamalarını, SAT / ACT skorlarını, AP siniflərini, müəllim veb saytlarını, idman komandalarını və Modesto, CA-dakı Hart-Ransom Akademik Xartiya Məktəbi haqqında daha çox məlumat əldə edin.

AP Fizikası 1, 2 və C arasındakı fərq nədir? Hansını almalısan?

Hansı AP Fizikası kursunu seçəcəyinizi necə seçirsiniz? AP Physics 1 və AP Physics C arasında necə qərar verirsiniz? Mütəxəssis təlimatımızla öyrənin.

Philadelphia Universitetinə Qəbul Tələbləri

Pensilvaniya Millersville Universiteti Qəbul Tələbləri

2016-17 Akademik Bələdçi | San Ramon Valley Liseyi

Stateville, SAT/ACT skorlarını, AP dərslərini, müəllim saytlarını, idman komandalarını və daha çoxunu Danville, CA -da San Ramon Valley Liseyi haqqında öyrənin.

Capella Universitetinə qəbul tələbləri

3 delikli yumru və onun ixtiraçısının əsl tarixi

Çuxur yumruğunu kim icad etdiyinə qarışıq? 3 delikli yumruq tarixini və ixtiraçısı ilə bağlı mübahisələri yenidən nəzərdən keçiririk.

Colgate Universiteti SAT və GPA

Grinnell Kolleci ACT Skorları və GPA

Ursinus Kolleci Qəbul Tələbləri

Niyə ACT almalısınız? 5 vacib səbəb

Niyə ACT almalısınız? ACT -ə ehtiyacınız olub -olmadığını müəyyən etməyə kömək edəcək ən vacib səbəbləri öyrənin.

PSAT vs SAT: Bilməli olduğunuz 6 əsas fərq

SAT və PSAT arasındakı fərqlərin nə olduğunu bilmirsiniz? Testlərin ortaq cəhətlərini və nəyi olmayanları ayırırıq.

Tarleton Dövlət Universitetinə Qəbul Tələbləri

1250 SAT puanı: Bu yaxşıdır?